hydraulic-jump

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Hydraulic%20jump%20design%20exercise%0A%0A%20%20%20%20This%20exercise%20**orientates%20at**%20Clyde%20Dam%2C%20on%20the%20Clutha%20River%20%2F%20Mata-Au%20in%20Central%20Otago%2C%20is%20New%20Zealand's%20largest%20concrete%20gravity%20dam%3A%20490%20m%20wide%2C%20up%20to%2060%20m%20high%20above%20the%20old%20riverbed%2C%20and%20impounding%20Lake%20Dunstan.%20Its%20gated%20spillway%20has%20four%20radial%20gates%2C%20each%2015%20m%20high%20and%2010%20m%20wide%2C%20designed%20to%20route%20a%20discharge%20of%203200%20m%24%5E3%24%2Fs%20(0.2%25%20AEP)%20at%20a%20lake%20level%20of%20195.1%20m.%20The%20water%20passing%20the%20spillway%20descends%20a%20chute%20on%20the%20dam%20face.%20The%20high-energy%20flow%20at%20the%20toe%20of%20that%20chute%20must%20be%20dissipated%20in%20a%20**stilling%20basin**%2C%20so%20that%20the%20riverbed%20downstream%20is%20not%20scoured.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Student%20challenge%3A**%20size%20the%20basin%20geometry%20so%20that%20the%20hydraulic%20jump%20forms%20inside%20the%20basin%20and%20is%20retained%20there%2C%20and%20scour%20downstream%20of%20the%20dam%20is%20thereby%20avoided.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Calculation%20template%20structure%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Overview%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%7C%20part%20%7C%20who%20does%20the%20work%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**I**%20%7C%20The%20flow%20arriving%20at%20the%20basin%3A%20unit%20discharge%2C%20energy%20head%20at%20the%20chute%20toe%20and%20tailwater%20depth%20%7C%20**given**%20--%20run%20the%20cells%20and%20read%20the%20results%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20**II**%20%7C%20Stilling-basin%20%26%20hydraulic%20jump%20design%20%7C%20**student**%20--%20workflow%20is%20given%2C%20hydraulic-jump%20equations%20need%20to%20be%20entered%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Details%0A%0A%20%20%20%20**Part%20I**%20establishes%20the%20quantities%20on%20which%20the%20jump%2C%20and%20therefore%20the%20basin%2C%20is%20designed%3A%20the%20discharge%20%24Q%24%20and%20the%20unit%20discharge%20%24q%24%2C%20the%20energy%20head%20%24H_0%24%20above%20the%20un-sunk%20basin%20invert%2C%20and%20the%20tailwater%20depth%20%24h_%7Btw%7D%24%20obtained%20from%20the%20Manning%20equation.%0A%0A%20%20%20%20**Part%20II**%20contains%20three%20short%20functions%2C%20marked%20%60Task%201%60%20to%20%60Task%203%60.%20Each%20is%20a%20single%20equation%20from%20the%20lecture.%20The%20numerics%20around%20them%2C%20that%20is%20the%20root%20finding%2C%20the%20search%20over%20the%20basin%20depth%20and%20the%20plots%2C%20are%20given%2C%20so%20that%20an%20incorrect%20equation%20produces%20an%20incorrect%20number%20rather%20than%20a%20traceback.%20The%20equation%20at%20the%20centre%20of%20the%20exercise%20is%20the%20sequent-depth%20(B%C3%A9langer)%20equation%20of%20Task%202%3B%20the%20other%20two%20establish%20the%20state%20it%20is%20applied%20to%20and%20the%20criterion%20by%20which%20the%20result%20is%20judged.%20On%20completing%20Part%20II%20you%20should%20be%20able%20to%3A%0A%0A%20%20%20%20*%20express%20the%20energy%2C%20continuity%20and%20momentum%20relations%20that%20fix%20a%20hydraulic%20jump%20as%20code%3B%0A%20%20%20%20*%20determine%20whether%20a%20given%20tailwater%20level%20retains%20a%20jump%20in%20a%20basin%20or%20sweeps%20it%20downstream%3B%0A%20%20%20%20*%20determine%20the%20depth%2C%20length%20and%20scour%20protection%20of%20a%20basin%20from%20those%20relations.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Notation%0A%0A%20%20%20%20Depths%20are%20denoted%20%24h%24%20and%20heads%20%24H%24%2C%20in%20the%20lecture%20and%20here%20alike.%20The%20retention%20ratio%20is%20denoted%20%24r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%24%20rather%20than%20the%20%24%5Cvarepsilon%24%20of%20the%20German%20worked%20example%20from%20which%20this%20workflow%20is%20adapted%2C%20because%20%24%5Cvarepsilon%24%20denotes%20the%20turbulent%20dissipation%20rate%20in%20the%20lecture.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20symbol%20%7C%20meaning%20%7C%20unit%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Q%24%20%7C%20spillway%20design%20flow%20%7C%20m%24%5E3%24%2Fs%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24w%24%20%7C%20width%20of%20the%20stilling%20basin%20%7C%20m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24w_%7Btw%7D%24%20%7C%20tailwater%20river%20width%20%7C%20m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24q%24%20%7C%20discharge%20per%20unit%20width%2C%20%24q%20%3D%20Q%2Fw%24%20%7C%20m%24%5E2%24%2Fs%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24H_0%24%20%7C%20energy%20head%20above%20the%20un-sunk%20basin%20invert%20%7C%20m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%20%7C%20depth%20of%20the%20basin%20floor%20below%20the%20downstream%20bed%20%7C%20m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24H%24%20%7C%20energy%20head%20above%20the%20basin%20floor%2C%20%24H%20%3D%20H_0%20%2B%20%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%20%7C%20m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24h_1%24%2C%20%24v_1%24%2C%20%24Fr_1%24%20%7C%20depth%2C%20velocity%20and%20Froude%20number%20at%20the%20basin%20entrance%20(supercritical)%20%7C%20m%2C%20m%2Fs%2C%20--%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24h_2%24%20%7C%20conjugate%20(sequent)%20depth%20of%20the%20jump%20%7C%20m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24h_%7Btw%7D%24%20%7C%20tailwater%20depth%20in%20the%20downstream%20reach%20%7C%20m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24n_M%24%20%7C%20Manning%20roughness%20coefficient%20of%20the%20downstream%20reach%20%7C%20s%2Fm%24%5E%7B1%2F3%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%24%20%7C%20retention%20ratio%2C%20%24(h_%7Btw%7D%20%2B%20%5Cmathbf%7Bd_b%7D)%2Fh_2%24%20%7C%20--%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24S_%7B0%2Ctw%7D%24%20%7C%20longitudinal%20bed%20slope%20of%20the%20downstream%20reach%20%7C%20--%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5CDelta%20H%24%20%7C%20head%20loss%20across%20the%20jump%20%7C%20m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24f_%7Bl%7D%24%20%7C%20Peterka%20basin-length%20multiplier%2C%20read%20from%20%24Fr_1%24%20%7C%20--%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24l_b%24%2C%20%24l_s%24%20%7C%20basin%20length%20and%20scour-protection%20length%20%7C%20m%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20following%20cell%20imports%20the%20Python%20packages%20and%20the%20colours%20used%20for%20the%20figures.%20These%20cells%20serve%20the%20functioning%20of%20the%20calculation%20template%20and%20carry%20no%20learning%20content.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20math%0A%20%20%20%20from%20dataclasses%20import%20dataclass%0A%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.patheffects%20as%20pe%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy.optimize%20import%20brentq%0A%0A%20%20%20%20%23%20Physical%20constants%20used%20throughout.%0A%20%20%20%20G%20%3D%209.81%20%20%23%20gravitational%20acceleration%20%5Bm%2Fs2%5D%0A%0A%20%20%20%20%23%20The%20lecture%20palette%2C%20so%20that%20figures%20and%20slides%20read%20as%20one%20piece.%0A%20%20%20%20NAVY%2C%20BLUE%2C%20CYAN%2C%20GREEN%2C%20WARN%2C%20GREY%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%230C0C48%22%2C%20%22%2300467F%22%2C%20%22%2300CAEF%22%2C%20%22%23167D61%22%2C%20%22%23C74B2A%22%2C%20%22%234A4A4C%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.figsize%22%3A%20(8.4%2C%204.2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.dpi%22%3A%20110%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.spines.top%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.spines.right%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titleweight%22%3A%20%22bold%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelcolor%22%3A%20NAVY%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.edgecolor%22%3A%20NAVY%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22text.color%22%3A%20NAVY%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22xtick.color%22%3A%20NAVY%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ytick.color%22%3A%20NAVY%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%209%2C%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20CYAN%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20G%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20GREY%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20NAVY%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20WARN%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20brentq%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dataclass%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20math%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pe%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%20Part%20I%3A%20boundary%20conditions%20for%20the%20hydraulic%20jump%20design%0A%0A%20%20%20%20Everything%20in%20this%20part%20is%20given.%20Run%20the%20cells%20and%20note%20the%20quantities%20passed%20on%20to%20Part%20II.%20No%20hydraulic-jump%20calculation%20is%20performed%20here.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Important%3A**%20only%20discharge%2C%20the%20associated%20lake%20level%20and%20gate%20dimensions%20are%20published%20figures%20that%20actually%20relate%20to%20Clyde%20Dam.%20The%20remainder%20of%20the%20assumptions%20in%20this%20exercise%20do%20not%20correspond%20to%20Clyde%20Dam.%20The%20real%20structure%20is%20more%20complex%3A%20a%20gate-controlled%20sluice%20with%20a%20capacity%20of%201%2C500%20m%C2%B3%2Fs%20adjoins%20the%20spillway%2C%20which%20can%20pass%20the%20largest%20anticipated%20flood%20of%206%2C820%20m%C2%B3%2Fs.%20Additionally%2C%20the%20Ministry%20of%20Works%20and%20Development%20developed%20the%20energy%20dissipation%20at%20the%20toe%20on%20physical%20models%20rather%20than%20through%20a%20closed-form%20calculation.%20This%20exercise%20therefore%20represents%20the%20initial%20stage%20in%20the%20process%20typically%20undertaken%20by%20engineers%20before%20a%20detailed%20design%20study%20involving%20physical%20or%20numerical%20models%3B%20it%20is%20not%20a%20substitute%20for%20such%20a%20study.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20quantity%20%7C%20value%20%7C%20remark%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Q%24%2C%20spillway%20design%20flow%20%7C%203200%20m%24%5E3%24%2Fs%20%7C%20published%2C%20at%20a%20lake%20level%20of%20195.1%20m%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24w%24%2C%20width%20of%20the%20chute%20and%20basin%20%7C%2040%20m%20%7C%20four%2010%20m%20gate%20bays%2C%20idealised%20as%20one%20rectangular%20chute%20with%20the%20piers%20ignored%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24H_0%24%2C%20energy%20head%20above%20the%20un-sunk%20basin%20invert%20%7C%2050.00%20m%20%7C%20assumed%3A%20the%20design%20flood%20level%20stands%20approximately%2060%20m%20above%20the%20riverbed%2C%20of%20which%20some%2010%20m%20is%20taken%20as%20lost%20down%20the%20chute%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24w_%7Btw%7D%24%2C%20%24n_M%24%2C%20%24S_%7B0%2Ctw%7D%24%20of%20the%20Clutha%20downstream%20of%20the%20dam%20%7C%2060%20m%2C%200.045%20s%2Fm%24%5E%7B1%2F3%7D%24%2C%200.0006%20%7C%20assumed%20%7C%0A%0A%20%20%20%20In%20New%20Zealand%20practice%2C%20catchment%20design%20floods%20are%20quoted%20as%20an%20annual%20exceedance%20probability%2C%20so%20the%20100-year%20flood%20is%20the%201%25%20AEP%20event%20and%20the%20500-year%20flood%20quoted%20for%20Clyde%20is%20the%200.2%25%20AEP%20event%3B%20the%20older%20average%20recurrence%20interval%20(ARI)%20denotes%20the%20same%20thing.%20A%20dam%20spillway%2C%20however%2C%20is%20not%20designed%20to%20a%20catchment%20AEP%20at%20all%3A%20under%20the%20NZSOLD%20*New%20Zealand%20Dam%20Safety%20Guidelines*%20the%20inflow%20design%20flood%20follows%20from%20the%20dam's%20Potential%20Impact%20Classification%2C%20and%20for%20a%20high-consequence%20dam%20it%20extends%20to%20the%20probable%20maximum%20flood.%0A%0A%20%20%20%20The%20following%20cell%20defines%20these%20hydrological%2C%20hydraulic%20and%20geometric%20boundary%20conditions.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%23%20---%20the%20design%20discharge%20----------------------------------------------------%0A%20%20%20%20Q_design%20%3D%203200.0%20%20%23%20m3%2Fs%20%20%20Clyde%20Dam%20spillway%20design%20flow%20at%20lake%20level%20195.1%20m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%20%20%20%20%20%20%20(published%3B%20the%20500-year%2C%200.2%25%20AEP%20flood)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20the%20chute%20toe%20and%20the%20stilling%20basin%20below%20it%20---------------------------%0A%20%20%20%20w_chute%20%3D%2040.0%20%20%20%20%20%23%20m%20%20%20%20%20%20four%2010%20m%20gate%20bays%2C%20idealised%20as%20one%20rectangle%0A%20%20%20%20H0%20%3D%2050.00%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20m%20%20%20%20%20%20energy%20head%20above%20the%20un-sunk%20basin%20invert%20(assumed)%0A%0A%20%20%20%20%23%20---%20the%20Clutha%20River%20below%20the%20dam%20(assumed)%20--------------------------------%0A%20%20%20%20n_manning%20%3D%200.045%20%20%20%23%20s%2Fm%5E(1%2F3)%20%20Manning%20roughness%20of%20the%20downstream%20reach%0A%20%20%20%20slope%20%3D%206.0e-4%20%20%20%20%20%20%23%20-%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bed%20slope%20of%20the%20downstream%20reach%0A%20%20%20%20w_tw%20%3D%2060.0%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20m%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20width%20of%20the%20downstream%20reach%20(rectangular%20idealisation)%0A%20%20%20%20h_tw%20%3D%2019.060%20%20%20%20%20%20%20%23%20m%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tailwater%20depth%20of%20that%20reach%20in%20uniform%20flow%0A%0A%20%20%20%20print(f%22spillway%20design%20flow%20Q%20%20%3D%20%7BQ_design%3A7.1f%7D%20m3%2Fs%22)%0A%20%20%20%20print(f%22chute%20and%20basin%20width%20w%20%3D%20%7Bw_chute%3A7.2f%7D%20m%22)%0A%20%20%20%20print(f%22head%20at%20the%20invert%20%20%20H0%20%3D%20%7BH0%3A7.2f%7D%20m%22)%0A%20%20%20%20return%20H0%2C%20Q_design%2C%20h_tw%2C%20w_chute%2C%20w_tw%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Boundary%20calculation%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Unit%20discharge%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20hydraulic%20jump%20calculation%2C%20discharge%20per%20metre%20of%20width%20is%20needed%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24q%20%3D%20%5Cfrac%7BQ%7D%7Bw%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20chute%20delivers%20this%20flow%20supercritically%2C%20which%20is%20the%20condition%20for%20a%20jump%20to%20form.%20The%20critical%20depth%20printed%20below%20is%20the%20upper%20bound%20on%20the%20entry%20depth%20%24h_1%24%2C%20and%20Part%20II%20uses%20it%20as%20the%20bracket%20when%20solving%20the%20energy%20equation.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(G%2C%20Q_design%2C%20w_chute)%3A%0A%20%20%20%20q_unit%20%3D%20Q_design%20%2F%20w_chute%0A%20%20%20%20h_crit%20%3D%20(q_unit**2%20%2F%20G)**(1%20%2F%203)%0A%0A%20%20%20%20print(f%22unit%20discharge%20%20%20q%20%3D%20Q%20%2F%20w%20%20%20%3D%20%7Bq_unit%3A7.3f%7D%20m2%2Fs%22)%0A%20%20%20%20print(f%22critical%20depth%20%20%20h_c%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%7Bh_crit%3A7.3f%7D%20m%22)%0A%20%20%20%20print(f%22critical%20velocity%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%7Bq_unit%20%2F%20h_crit%3A7.3f%7D%20m%2Fs%22)%0A%20%20%20%20return%20(q_unit%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Tailwater%20depth%20%24h_%7Btw%7D%24%0A%0A%20%20%20%20The%20depth%20in%20the%20downstream%20reach%20determines%20whether%20the%20jump%20is%20retained%20or%20swept%20out%2C%20and%20it%20is%20set%20by%20the%20reach%20itself%20rather%20than%20by%20the%20spillway.%20For%20a%20rectangular%20channel%20in%20uniform%20flow%2C%20the%20Manning%20equation%20gives%0A%0A%20%20%20%20%24%24Q%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn_M%7D%5C%2CA%5C%2CR%5E%7B2%2F3%7D%5C%2C%5Csqrt%7BS_%7B0%2Ctw%7D%7D%2C%20%5Cqquad%20A%20%3D%20w_%7Btw%7D%5C%2Ch_%7Btw%7D%2C%20%5Cqquad%20R%20%3D%20%5Cfrac%7Bw_%7Btw%7D%5C%2Ch_%7Btw%7D%7D%7Bw_%7Btw%7D%20%2B%202%5C%2Ch_%7Btw%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Evaluating%20this%20for%20the%20reach%20above%20gives%20%24h_%7Btw%7D%20%3D%2019.060%24%20m%2C%20which%20is%20assigned%20directly%20in%20the%20cell%20below%20and%20used%20from%20there%20on.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Note%3A**%20Natural%20channels%20are%20not%20rectangular%2C%20and%20%24h_%7Btw%7D%24%20enters%20the%20retention%20ratio%20directly.%20In%20practice%20the%20tailwater%20rating%20curve%20is%20obtained%20from%20gauging%2C%20a%20numerical%20model%2C%20or%20terrain%20data%2C%20and%20a%20range%20of%20tailwater%20levels%20is%20tested%20rather%20than%20a%20single%20value.%0A%0A%20%20%20%20The%20cell%20below%20also%20prints%20the%20critical%20depth%20of%20the%20downstream%20reach%2C%20since%20a%20jump%20can%20terminate%20in%20the%20tailwater%20only%20while%20that%20reach%20is%20subcritical.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(G%2C%20Q_design%2C%20h_tw%2C%20w_tw)%3A%0A%20%20%20%20h_crit_tw%20%3D%20((Q_design%20%2F%20w_tw)**2%20%2F%20G)**(1%20%2F%203)%0A%0A%20%20%20%20print(f%22tailwater%20depth%20h_tw%20%3D%20%7Bh_tw%3A.3f%7D%20m%20%20%20(given%2C%20from%20the%20reach%20above)%22)%0A%20%20%20%20print(f%22critical%20depth%20of%20the%20reach%20%3D%20%7Bh_crit_tw%3A.3f%7D%20m%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%20%20%20-%3E%20%7B'subcritical'%20if%20h_tw%20%3E%20h_crit_tw%20else%20'SUPERCRITICAL'%7D%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Define%20data%20structures%20%26%20default%20values%0A%0A%20%20%20%20The%20following%20code%20block%20builds%20the%20required%20data%20structures%20and%20sets%20default%20values%20for%20the%20core%20part%20II.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(H0%2C%20Q_design%2C%20dataclass%2C%20h_tw%2C%20q_unit%2C%20w_chute)%3A%0A%20%20%20%20%40dataclass(frozen%3DTrue)%0A%20%20%20%20class%20DesignData%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Q%3A%20float%20%20%20%20%20%20%20%23%20spillway%20design%20flow%20%5Bm3%2Fs%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q%3A%20float%20%20%20%20%20%20%20%23%20discharge%20per%20unit%20width%20%5Bm2%2Fs%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20H0%3A%20float%20%20%20%20%20%20%23%20energy%20head%20above%20the%20un-sunk%20basin%20invert%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h_tw%3A%20float%20%20%20%20%23%20tailwater%20depth%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w%3A%20float%20%20%20%20%20%20%20%23%20width%20the%20basin%20has%20to%20cover%20%5Bm%5D%0A%0A%0A%20%20%20%20DESIGN%20%3D%20DesignData(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Q%3DQ_design%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q%3Dq_unit%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20H0%3DH0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h_tw%3Dh_tw%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20w%3Dw_chute%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20print(f%22Q%20%20%20%20%20%20%3D%20%7BDESIGN.Q%3A8.1f%7D%20m3%2Fs%20%20%20spillway%20design%20flow%22)%0A%20%20%20%20print(f%22q%20%20%20%20%20%20%3D%20%7BDESIGN.q%3A8.3f%7D%20m2%2Fs%20%20%20unit%20discharge%22)%0A%20%20%20%20print(f%22H0%20%20%20%20%20%3D%20%7BDESIGN.H0%3A8.2f%7D%20m%20%20%20%20%20%20energy%20head%20above%20the%20un-sunk%20invert%22)%0A%20%20%20%20print(f%22h_tw%20%20%20%3D%20%7BDESIGN.h_tw%3A8.3f%7D%20m%20%20%20%20%20%20tailwater%20depth%22)%0A%20%20%20%20print(f%22w%20%20%20%20%20%20%3D%20%7BDESIGN.w%3A8.2f%7D%20m%20%20%20%20%20%20width%20the%20basin%20has%20to%20cover%22)%0A%20%20%20%20return%20(DESIGN%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%20Part%20II%3A%20Stilling%20basin%20%26%20hydraulic%20jump%20design%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20sequent%20depth%20(B%C3%A9langer)%20equation%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20horizontal%2C%20rectangular%20channel%2C%20the%20position%20and%20size%20of%20the%20jump%20follow%20from%20momentum%20conservation%2C%20the%20hydrostatic%20pressure%20forces%20and%20continuity.%20Given%20that%20the%20specific%20force%20is%20equal%20upstream%20(1)%20and%20downstream%20(2)%20of%20the%20jump%2C%20that%20is%2C%20%24M_1%20%3D%20M_2%24%20with%20%24M%20%3D%20q%5E2%2F(g%5C%2Ch)%20%2B%20h%5E2%2F2%24%2C%20the%20depth%20ratio%20is%20calculated%20by%20the%20sequent-depth%20equation%20of%20B%C3%A9langer%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B%5C%3B%5Cfrac%7Bh_2%7D%7Bh_1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Csqrt%7B1%20%2B%208%5C%2CFr_1%5E%7B2%7D%7D%20-%201%5Cright)%5C%3B%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Notably%2C%20%24h_1%24%20and%20%24h_2%24%20are%20the%20**sequent**%20(conjugate)%20depths.%20Every%20subsequent%20quantity%20in%20this%20exercise%20is%20obtained%20from%20%24h_2%24%3A%20the%20retention%20ratio%20that%20indicates%20whether%20the%20jump%20stays%20in%20the%20basin%2C%20the%20basin%20length%2C%20and%20the%20required%20length%20of%20downstream%20scour%20protection.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20Design%20problem%0A%0A%20%20%20%20The%20position%20of%20the%20jump%20is%20not%20fixed%20by%20the%20spillway.%20It%20is%20controlled%20by%20the%20**tailwater%20depth**%3A%20a%20jump%20forms%20where%20the%20downstream%20depth%20matches%20the%20conjugate%20depth%20%24h_2%24%20belonging%20to%20the%20incoming%20supercritical%20state.%20Where%20the%20tailwater%20is%20too%20shallow%20the%20jump%20is%20**swept%20out**%20onto%20unprotected%20downstream%20riverbed%3B%20where%20it%20is%20too%20deep%20the%20jump%20is%20**drowned**%20and%20dissipates%20less.%0A%0A%20%20%20%20The%20single%20design%20freedom%20is%20the%20**basin%20depth**%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%2C%20by%20which%20the%20basin%20floor%20is%20set%20below%20the%20downstream%20riverbed.%20Increasing%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%20acts%20in%20two%20opposing%20directions%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20it%20increases%20the%20energy%20head%20%24H%20%3D%20H_0%20%2B%20%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%20above%20the%20floor%2C%20so%20the%20entry%20flow%20is%20faster%20and%20shallower%2C%20which%20raises%20%24Fr_1%24%20and%20hence%20%24h_2%24%3B%0A%20%20%20%202.%20it%20increases%20the%20depth%20available%20over%20the%20floor%2C%20namely%20%24h_%7Btw%7D%20%2B%20%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20An%20acceptable%20design%20is%20a%20basin%20depth%20at%20which%20both%20engineering%20objectives%20are%20satisfied%20simultaneously%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%244.5%20%5Cle%20Fr_1%20%3C%209.0%20%5Cqquad%5Ctext%7Band%7D%5Cqquad%201.05%20%5Cle%20r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bh_%7Btw%7D%20%2B%20%5Cmathbf%7Bd_b%7D%7D%7Bh_2%7D%20%5Cle%201.15%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20engineering%20objective%20is%20the%20**steady%20jump**%20that%20leads%20to%2045%25%20to%2070%25%20head%20loss%2C%20and%20no%20oscillating%20surge%20to%20fatigue%20the%20structure.%20The%20second%20engineering%20objective%20requires%20the%20basin%20to%20hold%20slightly%20more%20water%20than%20the%20jump%20needs%2C%20so%20that%20the%20jump%20is%20retained%20with%20a%20small%20margin%20without%20being%20drowned.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20workflow%0A%0A%20%20%20%20The%20steps%20run%20in%20the%20order%20of%20the%20table%2C%20and%20each%20one%20is%20either%20given%20or%20one%20of%20the%20three%20tasks%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20content%20%7C%20hint%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20choose%20a%20trial%20basin%20depth%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%20%7C%20here%3A%201.0%20m%20(given)%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24h_1%24%20and%20%24v_1%24%20from%20the%20energy%20equation%20at%20the%20entrance%20%7C%20given%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24Fr_1%20%3D%20v_1%2F%5Csqrt%7Bg%5C%2Ch_1%7D%24%20%7C%20**Task%201**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20is%20%244.5%20%5Cle%20Fr_1%20%3C%209.0%24%3F%20if%20not%2C%20adjust%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%20%7C%20given%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20the%20conjugate%20depth%20%24h_2%24%20from%20the%20B%C3%A9langer%20equation%20%7C%20**Task%202**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20is%20%241.05%20%5Cle%20r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%20%5Cle%201.15%24%3F%20if%20not%2C%20adjust%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%20%7C%20**Task%203**%20%2B%20given%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20basin%20length%20%24l_b%24%20and%20scour-protection%20length%20%24l_s%24%20%7C%20given%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20head%20loss%20%24%5CDelta%20H%24%20%7C%20given%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20three%20tasks%0A%0A%20%20%20%20Each%20task%20is%20one%20equation%20from%20the%20lecture.%0A%0A%20%20%20%20**Replace%20the%20%60raise%20NotImplementedError(...)%60%20line%20with%20a%20%60return%60%20statement.**%0A%0A%20%20%20%20**The%20function%20names%20and%20their%20arguments%20must%20not%20be%20changed%2C%20because%20the%20workflow%20below%20calls%20them.**%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Important%3A**%20On%20completing%20each%20task%2C%20run%20the%20**self-check**%20cell.%20It%20marks%20each%20function%20%60%5BOK%5D%60%20or%20%60%5BXX%5D%60%20against%20the%20lecture%20values.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Given%3A%20energy%20head%20above%20the%20basin%20floor%0A%0A%20%20%20%20Neglecting%20the%20approach%20velocity%2C%20the%20energy%20head%20available%20above%20the%20basin%20floor%20is%20%24H%20%3D%20H_0%20%2B%20%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24.%20At%20the%20basin%20entrance%2C%20that%20is%2C%20cross%20section%201%2C%20that%20head%20is%20split%20between%20depth%20and%20velocity%20head.%20With%20continuity%20%24v%20%3D%20q%2Fh%24%20for%20a%20rectangular%20section%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24H%20%3D%20h%20%2B%20%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7B2g%7D%20%3D%20h%20%2B%20%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7B2g%5C%2Ch%5E2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20right-hand%20side%20is%20coded%20below%20as%20a%20function%20of%20%24h%24%20and%20%24q%24.%20Read%20it%2C%20because%20the%20entry%20state%20of%20every%20trial%20basin%20depth%20comes%20from%20it%3A%20the%20given%20solver%20%60entry_depth%60%20further%20down%20selects%20the%20shallow%2C%20supercritical%20root%20of%20%60energy_head(h%2C%20q)%20%3D%3D%20H%60%2C%20which%20is%20the%20branch%20delivered%20by%20the%20chute.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(G)%3A%0A%20%20%20%20def%20energy_head(h%2C%20q%2C%20g%3DG)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Given%3A%20specific%20energy%20head%20of%20a%20rectangular%20section%20%5Bm%5D.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h%20%3A%20flow%20depth%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q%20%3A%20discharge%20per%20unit%20width%20%5Bm2%2Fs%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20energy%20head%20h%20%2B%20q%5E2%20%2F%20(2%20g%20h%5E2)%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20h%20%2B%20q**2%20%2F%20(2%20*%20g%20*%20h**2)%0A%0A%20%20%20%20return%20(energy_head%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Task%201%3A%20Froude%20number%0A%0A%20%20%20%20The%20Froude%20number%20compares%20the%20flow%20velocity%20with%20the%20shallow-water%20wave%20speed%20%24c%20%3D%20%5Csqrt%7Bg%20h%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24Fr%20%3D%20%5Cfrac%7Bv%7D%7B%5Csqrt%7Bg%5C%2Ch%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20Recall%20that%20%24Fr%20%3E%201%24%20denotes%20supercritical%20and%20%24Fr%20%3C%201%24%20subcritical%20flow.%20This%20step%20of%20the%20workflow%20only%20calculates%20the%20value%20of%20the%20Froude%20number%20(here%3A%20%24Fr_1%24)%20for%20the%20later%20comparison%20against%20the%20steady-jump%20window%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(G)%3A%0A%20%20%20%20def%20froude_number(v%2C%20h%2C%20g%3DG)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Task%201%3A%20Froude%20number%20of%20a%20rectangular%20section%20%5B-%5D.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v%20%3A%20depth-averaged%20velocity%20%5Bm%2Fs%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h%20%3A%20flow%20depth%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%3E%3E%3E%20YOUR%20CODE%20HERE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20NotImplementedError(%22Task%201%3A%20return%20the%20Froude%20number%22)%0A%0A%20%20%20%20return%20(froude_number%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Task%202%3A%20sequent%20depth%20(B%C3%A9langer)%20equation%0A%0A%20%20%20%20**This%20is%20the%20central%20equation%20of%20the%20exercise.**%20Implement%20the%20depth%20ratio%20at%20cross%20sections%202%20(%24h_2%24)%20and%201%20(%24h_1%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bh_2%7D%7Bh_1%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Csqrt%7B1%20%2B%208%5C%2CFr_1%5E%7B2%7D%7D%20-%201%5Cright)%24%24%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Note%3A**%20This%20equation%20describes%20neither%20the%20roller%20between%20the%20cross%20sections%20nor%20the%20internal%20structure%20of%20the%20jump.%20Everything%20the%20design%20requires%20after%20this%20point%2C%20that%20is%20the%20retention%20ratio%2C%20the%20basin%20length%20and%20the%20scour-protection%20length%2C%20follows%20from%20the%20%24h_2%24%20sequent%20depth%20equation%20returns.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20conjugate_depth(h1%2C%20Fr1)%3A%0A%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20Task%202%3A%20conjugate%20(sequent)%20depth%20downstream%20of%20the%20jump%20%5Bm%5D.%0A%0A%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20h1%20%20%3A%20supercritical%20depth%20upstream%20of%20the%20jump%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20Fr1%20%3A%20Froude%20number%20at%20section%201%20%5B-%5D%0A%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%23%20%3E%3E%3E%20YOUR%20CODE%20HERE%0A%20%20%20%20raise%20NotImplementedError(%22Task%202%3A%20return%20the%20conjugate%20depth%20h2%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Task%203%3A%20retention%20ratio%0A%0A%20%20%20%20The%20water%20depth%20over%20the%20basin%20floor%20is%20the%20tailwater%20depth%20plus%20the%20basin%20depth.%20Comparing%20it%20with%20the%20depth%20the%20jump%20demands%20results%20in%20the%20retention%20ratio%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bh_%7Btw%7D%20%2B%20%5Cmathbf%7Bd_b%7D%7D%7Bh_2%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%20%3C%201%24%20means%20the%20basin%20cannot%20supply%20the%20conjugate%20depth%20and%20the%20jump%20is%20swept%20downstream%3B%20%24r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%24%20well%20above%201%20means%20the%20jump%20is%20drowned.%20The%20retention%20check%20asks%20for%20%241.05%20%5Cle%20r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%20%5Cle%201.15%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20retention_ratio(h_tw%2C%20d_b%2C%20h2)%3A%0A%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20Task%203%3A%20retention%20ratio%20of%20the%20basin%20%5B-%5D.%0A%0A%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20h_tw%20%3A%20tailwater%20depth%20in%20the%20downstream%20reach%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20d_b%20%20%3A%20depth%20of%20the%20basin%20floor%20below%20the%20downstream%20bed%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20h2%20%20%20%3A%20conjugate%20depth%20required%20by%20the%20jump%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%23%20%3E%3E%3E%20YOUR%20CODE%20HERE%0A%20%20%20%20raise%20NotImplementedError(%22Task%203%3A%20return%20the%20retention%20ratio%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Given%3A%20basin%20and%20scour-protection%20lengths%0A%0A%20%20%20%20To%20empirically%20derive%20the%20required%20stilling%20basin%20length%20%24l_b%24%2C%20%5BPeterka%20(USBR%20Engineering%20Monograph%2025)%5D(https%3A%2F%2Fntrl.ntis.gov%2FNTRL%2Fdashboard%2FsearchResults%2FtitleDetail%2FPB95139457.xhtml)%20measured%20the%20length%20of%20the%20jump%20in%20six%20test%20flumes%20and%20plotted%20it%20against%20the%20Froude%20number%20as%20a%20ready%20reckoner%20(his%20Figure%207%2C%20free%20jump%20on%20a%20horizontal%20apron).%20The%20curve%20gives%20a%20factor%20(here%3A%20%24f_l%24)%2C%20which%20is%20read%20off%20at%20the%20Froude%20number%20of%20cross%20section%201%20(%24Fr_1%24)%20and%20multiplied%20by%20the%20conjugate%20depth%20(%24h_2%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%24Fr_1%24%20%7C%202.4%20%7C%204%20%7C%205%20%7C%206%20to%2011%20%7C%2014%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24f_%7Bl%7D%24%20%7C%204.8%20%7C%205.8%20%7C%206.0%20%7C%206.13%20%7C%206.0%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20function%20%60peterka_f%60%20below%20reads%20that%20table%20(no%20intervention%20needed)%20and%20returns%20%24f_%7Bl%7D%24.%20It%20fits%20nothing%3A%20%60np.interp%60%20interpolates%20linearly%20between%20the%20tabulated%20points%20of%20a%20measured%20curve%2C%20and%20that%20curve%20is%20not%20a%20straight%20line.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20peterka_f(Fr1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''Given%3A%20basin-length%20multiplier%20after%20Peterka%20(USBR%20EM%2025)%2C%20interpolated%20%5B-%5D.'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20knots_Fr%20%3D%20%5B2.4%2C%204.0%2C%205.0%2C%206.0%2C%2011.0%2C%2014.0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20knots_f%20%3D%20%5B4.8%2C%205.8%2C%206.0%2C%206.13%2C%206.13%2C%206.0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(np.interp(Fr1%2C%20knots_Fr%2C%20knots_f))%0A%0A%0A%20%20%20%20print(f%22f_l%20at%20Fr1%20%3D%205.0%20%3A%20%7Bpeterka_f(5.0)%3A.3f%7D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22f_l%20at%20Fr1%20%3D%208.0%20%3A%20%7Bpeterka_f(8.0)%3A.3f%7D%22)%0A%20%20%20%20return%20(peterka_f%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Next%2C%20calculate%20the%20required%20basin%20length%20%24l_b%24%20to%20contain%20the%20jump%20with%20the%20%60peterka_f%60%20function.%20Because%20the%20flow%20leaving%20the%20jump%20(and%20the%20basin%20end%20sill)%20is%20still%20turbulent%2C%20the%20riverbed%20immediately%20downstream%20of%20the%20basin%20has%20to%20be%20armoured%20over%20a%20length%20%24l_s%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24l_b%20%3D%20f_%7Bl%7D(Fr_1)%20h_2%2C%20%5Cqquad%20l_s%20%3D%203.5%20l_b%24%24%0A%0A%20%20%20%20Both%20lengths%20are%20coded%20below%2C%20%60basin_lengths%60%20calling%20%60peterka_f%60%20for%20the%20multiplier.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(peterka_f)%3A%0A%20%20%20%20def%20basin_lengths(h2%2C%20Fr1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Given%3A%20basin%20length%20and%20scour-protection%20length%20%5Bm%5D.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%0A%20%20%20%20%20%20%20%20----------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h2%20%20%3A%20conjugate%20depth%20downstream%20of%20the%20jump%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Fr1%20%3A%20Froude%20number%20at%20section%201%2C%20which%20selects%20the%20multiplier%20%5B-%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(l_b%2C%20l_s)%20%3A%20basin%20length%20and%20scour-protection%20length%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20l_b%20%3D%20peterka_f(Fr1)%20*%20h2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20l_b%2C%203.5%20*%20l_b%0A%0A%20%20%20%20return%20(basin_lengths%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3E%20**Note%3A**%20For%20a%20steady%20jump%2C%20%24l_b%24%20is%20close%20to%20the%20rule%20of%20thumb%20%24l_j%20%5Capprox%24%206%20%24h_2%24%2C%20and%20the%20cells%20in%20this%20notebook%20print%20both%20%24l_j%24%20and%20%24l_b%24.%20Yet%2C%20other%20design%20manuals%20would%20give%20different%20factors%2C%20which%20is%20one%20of%20the%20reasons%20why%20a%20detailed%20design%20with%20a%20physical%20or%20numerical%20model%20is%20critical.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Self-check%0A%0A%20%20%20%20Run%20this%20cell%20after%20completing%20each%20task.%20The%20reference%20values%20are%20the%20approximate%20results%20presented%20in%20the%20lecture%20slides%2C%20so%20%60%5BOK%5D%60%20on%20every%20line%20indicates%20that%20the%20three%20tasks%20reproduce%20the%20slides.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(froude_number)%3A%0A%20%20%20%20CHECKS%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Task%201%20%20froude_number(31.623%2C%202.5298)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20lambda%3A%20froude_number(31.623%2C%202.5298)%2C%20(6.348%2C)%2C%20%22-%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Task%202%20%20conjugate_depth(2.5298%2C%206.348)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20lambda%3A%20conjugate_depth(2.5298%2C%206.348)%2C%20(21.481%2C)%2C%20%22m%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22Task%203%20%20retention_ratio(19.060%2C%203.5%2C%2021.481)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20lambda%3A%20retention_ratio(19.060%2C%203.5%2C%2021.481)%2C%20(1.050%2C)%2C%20%22-%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20check_tasks(tolerance%3D5e-3%2C%20verbose%3DTrue)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''Compare%20each%20task%20against%20the%20worked%20values%20from%20the%20lecture.'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20passed%20%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20label%2C%20call%2C%20expected%2C%20unit%20in%20CHECKS%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20try%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20value%20%3D%20call()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20except%20NotImplementedError%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20verbose%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%5B%20%5D%20%7Blabel%3A%3C46%7D%20not%20implemented%20yet%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20got%20%3D%20value%20if%20isinstance(value%2C%20tuple)%20else%20(value%2C)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ok%20%3D%20(len(got)%20%3D%3D%20len(expected)%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20all(abs(g%20-%20e)%20%3C%3D%20tolerance%20*%20max(1.0%2C%20abs(e))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20g%2C%20e%20in%20zip(got%2C%20expected)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20passed%20%2B%3D%20ok%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20verbose%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mark%20%3D%20%22OK%22%20if%20ok%20else%20%22XX%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20shown%20%3D%20%22%2C%20%22.join(f%22%7Bg%3A.3f%7D%22%20for%20g%20in%20got)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20wanted%20%3D%20%22%2C%20%22.join(f%22%7Be%3A.3f%7D%22%20for%20e%20in%20expected)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%5B%7Bmark%7D%5D%20%7Blabel%3A%3C46%7D%20%7Bshown%3A%3E19%7D%20%7Bunit%3A%3C3%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%20(expected%20%7Bwanted%7D)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20verbose%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(%22-%22%20*%2078)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7Bpassed%7D%20of%20%7Blen(CHECKS)%7D%20tasks%20correct.%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20passed%20%3D%3D%20len(CHECKS)%0A%0A%0A%20%20%20%20TASKS_DONE%20%3D%20check_tasks()%0A%20%20%20%20return%20(TASKS_DONE%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Workflow%20implementation%3A%20the%20search%20over%20the%20basin%20depth%0A%0A%20%20%20%20**The%20remainder%20of%20Part%20II%20calculations%20is%20given%20(the%20follow-up%20question%20answers%20are%20not).**%0A%0A%20%20%20%20The%20function%20%60basin_state%60%20evaluates%20one%20trial%20basin%20depth%20end%20to%20end%20and%20calls%20the%20functions%20written%20above%3B%20%60search_basin_depth%60%20chooses%20the%20trial%20depths%2C%20adjusting%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%20by%20bisection%20until%20it%20has%20found%20the%20**shallowest**%20depth%20at%20which%20both%20engineering%20objectives%20are%20met.%20The%20bisection%20logic%20should%20be%20read%20before%20the%20cell%20is%20run.%0A%0A%20%20%20%20%24Fr_1%24%20and%20%24r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%24%20increase%20with%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%2C%20which%20is%20what%20allows%20one%20to%20use%20a%20single%20bracket%20for%20both%20tests%3A%20too%20shallow%20a%20basin%20does%20not%20supply%20the%20depth%20the%20jump%20demands%20and%20sweeps%20it%20downstream%2C%20but%20too%20deep%20a%20basin%20supplies%20more%20than%20the%20jump%20requires%20and%20drowns%20it.%20Each%20failed%20trial%20therefore%20indicates%20which%20half%20of%20the%20bracket%20to%20retain%2C%20and%20in%20the%20present%20case%20the%20search%20fails%20in%20both%20directions%20before%20converging.%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Observe%3A**%20The%20search%20workflow%20starts%20from%20a%20first%20trial%20of%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%20%3D%201.0%20m.%20That%20trial%20satisfies%20the%20steady-jump%20window%2C%20%24Fr_1%24%20%3D%206.1%20already%20being%20a%20steady%20jump%2C%20and%20fails%20the%20retention%20window%2C%20the%20jump%20being%20swept%20out.%20The%20bisection%20then%20deepens%20the%20basin%20to%2010.5%20m%2C%20which%20drowns%20the%20jump%2C%20and%20works%20back%20down.%20An%20acceptable%20depth%20is%20not%20the%20end%20of%20the%20search%3A%20because%20a%20deeper%20basin%20costs%20excavation%20for%20no%20benefit%2C%20the%20bracket%20keeps%20closing%20until%20the%20**shallowest**%20acceptable%20depth%20is%20found%2C%20and%20that%20value%20is%20rounded%20up%20to%20the%20next%200.25%20m%20for%20a%20constructible%20figure.%20The%20result%20still%20depends%20on%20the%20width%20of%20the%20bracket%2C%20so%20a%20report%20should%20state%20which%20bracket%20produced%20it.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(DESIGN%2C%20G%2C%20brentq%2C%20dataclass%2C%20energy_head%2C%20froude_number)%3A%0A%20%20%20%20FR_WINDOW%20%3D%20(4.5%2C%209.0)%20%20%20%20%20%23%20steady-jump%20range%0A%20%20%20%20RT_WINDOW%20%3D%20(1.05%2C%201.15)%20%20%20%23%20retention%20window%0A%0A%0A%20%20%20%20%40dataclass(frozen%3DTrue)%0A%20%20%20%20class%20BasinState%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d_b%3A%20float%20%20%20%20%20%23%20trial%20basin%20depth%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20H%3A%20float%20%20%20%20%20%20%20%23%20energy%20head%20above%20the%20basin%20floor%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h1%3A%20float%20%20%20%20%20%20%23%20supercritical%20entry%20depth%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v1%3A%20float%20%20%20%20%20%20%23%20entry%20velocity%20%5Bm%2Fs%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Fr1%3A%20float%20%20%20%20%20%23%20entry%20Froude%20number%20%5B-%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h2%3A%20float%20%20%20%20%20%20%23%20conjugate%20depth%20%5Bm%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Rt%3A%20float%20%20%20%20%20%20%23%20retention%20ratio%20%5B-%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%40property%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20fr_ok(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20FR_WINDOW%5B0%5D%20%3C%3D%20self.Fr1%20%3C%20FR_WINDOW%5B1%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%40property%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20rt_ok(self)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20RT_WINDOW%5B0%5D%20%3C%3D%20self.Rt%20%3C%3D%20RT_WINDOW%5B1%5D%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20critical_depth(q%2C%20g%3DG)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''Critical%20depth%20of%20a%20rectangular%20section%20%5Bm%5D%3B%20the%20bracket%20for%20the%20entry%20depth.'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(q**2%20%2F%20g)**(1%20%2F%203)%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20entry_depth(H%2C%20q)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20shallow%2C%20supercritical%20root%20of%20energy_head(h%2C%20q)%20%3D%20H%20%5Bm%5D.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Both%20roots%20satisfy%20the%20energy%20equation.%20The%20supercritical%20one%20lies%20below%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20critical%20depth%2C%20and%20it%20is%20the%20branch%20the%20spillway%20delivers%2C%20so%20the%20bracket%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20closed%20at%20the%20critical%20depth.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20brentq(lambda%20h%3A%20energy_head(h%2C%20q)%20-%20H%2C%201e-4%2C%20critical_depth(q))%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20basin_state(d_b%2C%20design%3DNone)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''The%20workflow%20evaluated%20for%20one%20trial%20basin%20depth%20d_b.'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20design%20%3D%20design%20or%20DESIGN%0A%20%20%20%20%20%20%20%20H%20%3D%20design.H0%20%2B%20d_b%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20head%20above%20the%20basin%20floor%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h1%20%3D%20entry_depth(H%2C%20design.q)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20supercritical%20root%0A%20%20%20%20%20%20%20%20v1%20%3D%20design.q%20%2F%20h1%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20continuity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Fr1%20%3D%20froude_number(v1%2C%20h1)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Task%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h2%20%3D%20conjugate_depth(h1%2C%20Fr1)%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Task%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Rt%20%3D%20retention_ratio(design.h_tw%2C%20d_b%2C%20h2)%20%20%20%23%20Task%203%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20BasinState(d_b%3Dd_b%2C%20H%3DH%2C%20h1%3Dh1%2C%20v1%3Dv1%2C%20Fr1%3DFr1%2C%20h2%3Dh2%2C%20Rt%3DRt)%0A%0A%20%20%20%20return%20FR_WINDOW%2C%20RT_WINDOW%2C%20basin_state%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(FR_WINDOW%2C%20RT_WINDOW%2C%20TASKS_DONE%2C%20basin_state%2C%20math)%3A%0A%20%20%20%20def%20search_basin_depth(db_start%3D1.0%2C%20db_min%3D0.0%2C%20db_max%3D20.0%2C%20max_iter%3D25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tol%3D0.005%2C%20grid%3D0.25%2C%20verbose%3DTrue)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Bisection%20on%20the%20basin%20depth%20d_b%20for%20the%20SHALLOWEST%20depth%20at%20which%20both%0A%20%20%20%20%20%20%20%20engineering%20objectives%20are%20met%2C%20rounded%20up%20to%20the%20next%20%60grid%60%20metres.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Returns%20the%20accepted%20BasinState%20and%20the%20full%20iteration%20history.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d_b%20%3D%20db_start%0A%20%20%20%20%20%20%20%20history%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20verbose%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7B'iter'%3A%3E4%7D%7B'd_b%20%5Bm%5D'%3A%3E9%7D%7B'Fr1'%3A%3E8%7D%7B'h1%20%5Bm%5D'%3A%3E9%7D%7B'h2%20%5Bm%5D'%3A%3E9%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B'Rt'%3A%3E8%7D%20%20%20verdict%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(%22-%22%20*%2066)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range(1%2C%20max_iter%20%2B%201)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state%20%3D%20basin_state(d_b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20history.append(state)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20verbose%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20flags%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20state.fr_ok%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20flags.append(%22Fr1%20low%22%20if%20state.Fr1%20%3C%20FR_WINDOW%5B0%5D%20else%20%22Fr1%20high%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20state.rt_ok%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20flags.append(%22swept%20out%22%20if%20state.Rt%20%3C%20RT_WINDOW%5B0%5D%20else%20%22drowned%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7Bi%3A%3E4%7D%7Bstate.d_b%3A%3E9.3f%7D%7Bstate.Fr1%3A%3E8.2f%7D%7Bstate.h1%3A%3E9.4f%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bstate.h2%3A%3E9.4f%7D%7Bstate.Rt%3A%3E8.3f%7D%20%20%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7B'accepted'%20if%20not%20flags%20else%20'%2C%20'.join(flags)%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20A%20deeper%20basin%20raises%20H%2C%20so%20the%20entry%20flow%20is%20shallower%20and%20faster%3A%20Fr1%20and%20Rt%20increase%20monotonically%20with%20d_b.%20One%20bracket%20therefore%20serves%20both%20criteria%2C%20and%20each%20verdict%20says%20which%20way%20to%20move%3A%20a%20jump%20that%20is%20too%20gentle%20or%20swept%20out%20wants%20a%20deeper%20basin%2C%20one%20that%20is%20too%20fierce%20or%20drowned%20wants%20a%20shallower%20one.%20An%20acceptable%20trial%20is%20not%20the%20end%20of%20the%20search%20either%2C%20because%20a%20deeper%20basin%20than%20necessary%20costs%20excavation%20for%20no%20benefit%2C%20so%20it%20too%20narrows%20the%20bracket%20from%20above.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20state.fr_ok%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20state.Fr1%20%3C%20FR_WINDOW%5B0%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20db_min%20%3D%20d_b%20%20%23%20jump%20too%20gentle%3A%20deepen%20the%20basin%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20db_max%20%3D%20d_b%20%20%23%20jump%20too%20fierce%3A%20raise%20the%20floor%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20state.Rt%20%3C%20RT_WINDOW%5B0%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20db_min%20%3D%20d_b%20%20%20%20%20%20%23%20swept%20out%3A%20deeper%20basin%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20db_max%20%3D%20d_b%20%20%20%20%20%20%23%20accepted%20or%20drowned%3A%20try%20a%20shallower%20one%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20db_max%20-%20db_min%20%3C%20tol%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20d_b%20%3D%200.5%20*%20(db_min%20%2B%20db_max)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20RuntimeError(%22no%20acceptable%20basin%20depth%20found%20in%20the%20search%20range%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20db_max%20is%20the%20shallowest%20depth%20known%20to%20work%3B%20round%20it%20up%20to%20a%20buildable%20one.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20d_b%20%3D%20math.ceil(db_max%20%2F%20grid)%20*%20grid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state%20%3D%20basin_state(d_b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20history.append(state)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20(state.fr_ok%20and%20state.rt_ok)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20RuntimeError(f%22rounding%20up%20to%20%7Bd_b%3A.2f%7D%20m%20no%20longer%20meets%20the%20engineering%20objectives%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20verbose%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7B'-%3E'%3A%3E4%7D%7Bstate.d_b%3A%3E9.3f%7D%7Bstate.Fr1%3A%3E8.2f%7D%7Bstate.h1%3A%3E9.4f%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bstate.h2%3A%3E9.4f%7D%7Bstate.Rt%3A%3E8.3f%7D%20%20%20shallowest%2C%20rounded%20up%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20state%2C%20history%0A%0A%0A%20%20%20%20if%20TASKS_DONE%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20DESIGN_STATE%2C%20HISTORY%20%3D%20search_basin_depth()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%5Cnaccepted%20basin%20depth%20d_b%20%3D%20%7BDESIGN_STATE.d_b%3A.3f%7D%20m%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20DESIGN_STATE%2C%20HISTORY%20%3D%20None%2C%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(%22Complete%20Tasks%201%20to%203%2C%20then%20re-run%20this%20cell.%22)%0A%20%20%20%20return%20(DESIGN_STATE%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Head%20loss%20across%20the%20jump%0A%0A%20%20%20%20The%20head%20loss%20quantifies%20the%20work%20the%20basin%20performs.%20This%20is%20not%20a%20task%3A%20the%20design%20decision%20has%20already%20been%20taken%20by%20the%20two%20engineering%20objectives%20above.%20The%20loss%20is%20computed%20here%20because%20it%20is%20the%20reason%20the%20basin%20exists.%20Combining%20the%20energy%20equation%20with%20the%20conjugate-depth%20relation%20on%20a%20horizontal%20bed%20gives%20the%20head%20loss%20in%20closed%20form%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5CDelta%20H%20%3D%20H_1%20-%20H_2%20%3D%20%5Cfrac%7B(h_2%20-%20h_1)%5E3%7D%7B4%20h_1%20h_2%7D%20%3E%200%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%5CDelta%20H%24%20is%20a%20loss%20of%20head%20rather%20than%20of%20energy%3A%20it%20represents%20the%20irreversible%20conversion%20of%20mean-flow%20mechanical%20energy%20into%20turbulence%20and%20ultimately%20into%20internal%20energy%2C%20the%20total%20energy%20being%20conserved%20throughout.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(DESIGN%2C%20DESIGN_STATE%2C%20TASKS_DONE%2C%20energy_head)%3A%0A%20%20%20%20def%20head_loss(h1%2C%20h2)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20'''Given%3A%20head%20loss%20across%20the%20jump%20%5Bm%5D.'''%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(h2%20-%20h1)**3%20%2F%20(4%20*%20h1%20*%20h2)%0A%0A%0A%20%20%20%20if%20TASKS_DONE%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta_H%20%3D%20head_loss(DESIGN_STATE.h1%2C%20DESIGN_STATE.h2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20H1%20%3D%20energy_head(DESIGN_STATE.h1%2C%20DESIGN.q)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22head%20loss%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dH%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%7Bdelta_H%3A8.3f%7D%20m%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22energy%20head%20at%201%20%20%20%20H1%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%20%7BH1%3A8.3f%7D%20m%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22relative%20loss%20%20%20%20%20%20%20dH%20%2F%20H1%20%20%20%3D%20%7Bdelta_H%20%2F%20H1%3A8.1%25%7D%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta_H%20%3D%20H1%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(%22Complete%20Tasks%201%20to%203%2C%20then%20re-run%20this%20cell.%22)%0A%20%20%20%20return%20H1%2C%20delta_H%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Basin%20length%20and%20scour%20protection%0A%0A%20%20%20%20The%20given%20%60basin_lengths%60%2C%20evaluated%20at%20the%20accepted%20design%2C%20alongside%20the%20rule%20of%20thumb%20(%24l_j%20%5Capprox%24%206%20%24h_2%24)%20against%20which%20the%20basin%20length%20can%20be%20checked.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(DESIGN_STATE%2C%20TASKS_DONE%2C%20basin_lengths%2C%20peterka_f)%3A%0A%20%20%20%20if%20TASKS_DONE%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f_peterka%20%3D%20peterka_f(DESIGN_STATE.Fr1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20l_b%2C%20l_s%20%3D%20basin_lengths(DESIGN_STATE.h2%2C%20DESIGN_STATE.Fr1)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22Peterka%20multiplier%20%20f_l%20%20%3D%20%7Bf_peterka%3A7.2f%7D%20%20(at%20Fr1%20%3D%20%7BDESIGN_STATE.Fr1%3A.2f%7D)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22basin%20length%20%20%20%20%20%20%20%20l_b%20%20%3D%20%7Bl_b%3A7.2f%7D%20m%20%20%20%3C-%20given%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22rule%20of%20thumb%20%20%20%20%206%20h_2%20%20%3D%20%7B6%20*%20DESIGN_STATE.h2%3A7.2f%7D%20m%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%20%20%20(%7Babs(6%20*%20DESIGN_STATE.h2%20%2F%20l_b%20-%201)%3A.1%25%7D%20from%20l_b)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22scour%20protection%20%20%20%20l_s%20%20%3D%20%7Bl_s%3A7.2f%7D%20m%20%20%20%3C-%20given%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f_peterka%20%3D%20l_b%20%3D%20l_s%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(%22Complete%20Tasks%201%20to%203%2C%20then%20re-run%20this%20cell.%22)%0A%20%20%20%20return%20l_b%2C%20l_s%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Result%20evaluation%20plots%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Engineering%20objective%20check%0A%0A%20%20%20%20The%20two%20engineering%20objectives%20are%20here%20graphically%20evaluated%20as%20a%20function%20of%20the%20basin%20depth%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24.%20The%20shaded%20bands%20in%20the%20plots%20are%20the%20objectives%20and%20the%20dashed%20vertical%20line%20is%20the%20accepted%20design.%20Only%20one%20criterion%20is%20decisive%3A%20%24Fr_1%24%20stays%20inside%20its%20band%20across%20all%20tests%2C%20but%20%24r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%24%20enters%20its%20band%20and%20leaves%20it%20again%20within%20about%202.5%20m%20of%20basin%20depth%2C%20between%206.79%20m%20and%209.31%20m.%20The%20retention%20criterion%20therefore%20selects%20%24%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%2C%20and%20it%20is%20the%20criterion%20that%20depends%20on%20the%20given%20tailwater%20depth%20%24h_%7Btw%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20CYAN%2C%0A%20%20%20%20DESIGN_STATE%2C%0A%20%20%20%20FR_WINDOW%2C%0A%20%20%20%20GREY%2C%0A%20%20%20%20RT_WINDOW%2C%0A%20%20%20%20TASKS_DONE%2C%0A%20%20%20%20WARN%2C%0A%20%20%20%20basin_state%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20if%20TASKS_DONE%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20db_range%20%3D%20np.linspace(0.2%2C%2020.0%2C%20240)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20states%20%3D%20%5Bbasin_state(float(x))%20for%20x%20in%20db_range%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Fr_curve%20%3D%20np.array(%5Bs.Fr1%20for%20s%20in%20states%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Rt_curve%20%3D%20np.array(%5Bs.Rt%20for%20s%20in%20states%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%20axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(9.4%2C%203.6)%2C%20sharex%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.axhspan(*FR_WINDOW%2C%20color%3DCYAN%2C%20alpha%3D0.18%2C%20lw%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.plot(db_range%2C%20Fr_curve%2C%20color%3DBLUE%2C%20lw%3D2.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.set_ylabel('%24Fr_1%24%20at%20the%20basin%20entrance%20%5B-%5D')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.set_title('Steady-jump%20window')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.set_ylim(4.3%2C%209.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.annotate('steady%20jump%5Cn%244.5%20%5C%5Cleq%20Fr_1%20%3C%209%24'%2C%20(0.8%2C%208.4)%2C%20color%3DBLUE%2C%20fontsize%3D8.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.axhspan(Rt_curve.min()%2C%20RT_WINDOW%5B0%5D%2C%20color%3DWARN%2C%20alpha%3D0.1%2C%20lw%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.axhspan(*RT_WINDOW%2C%20color%3DCYAN%2C%20alpha%3D0.18%2C%20lw%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.axhspan(RT_WINDOW%5B1%5D%2C%20Rt_curve.max()%2C%20color%3DGREY%2C%20alpha%3D0.1%2C%20lw%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.axhline(1.0%2C%20color%3DGREY%2C%20lw%3D0.8%2C%20ls%3D'%3A')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.plot(db_range%2C%20Rt_curve%2C%20color%3DBLUE%2C%20lw%3D2.2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.set_ylabel('retention%20ratio%20%24r_%5C%5Cmathrm%7Bt%7D%24%20%5B-%5D')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.set_title('Retention%20window')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.set_ylim(Rt_curve.min()%2C%20Rt_curve.max())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.annotate('jump%20swept%20out'%2C%20(4.2%2C%200.83)%2C%20color%3DWARN%2C%20fontsize%3D8.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.annotate('retained'%2C%20(0.8%2C%201.09)%2C%20color%3DBLUE%2C%20fontsize%3D8.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.annotate('jump%20drowned'%2C%20(0.8%2C%201.42)%2C%20color%3DGREY%2C%20fontsize%3D8.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_ax%20in%20axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(DESIGN_STATE.d_b%2C%20color%3DWARN%2C%20lw%3D1.4%2C%20ls%3D'--')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlabel('basin%20depth%20%24%5C%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24%20%5Bm%5D'%2C%20color%3DWARN)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(0.2%2C%2020.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.plot(%5BDESIGN_STATE.d_b%5D%2C%20%5BDESIGN_STATE.Fr1%5D%2C%20'o'%2C%20color%3DWARN%2C%20ms%3D6%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.plot(%5BDESIGN_STATE.d_b%5D%2C%20%5BDESIGN_STATE.Rt%5D%2C%20'o'%2C%20color%3DWARN%2C%20ms%3D6%2C%20zorder%3D3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B0%5D.annotate(f'design%5Cn%24%5C%5Cmathbf%7B%7Bd_b%7D%7D%20%3D%20%7BDESIGN_STATE.d_b%3A.2f%7D%24%20m%2C%20%20%24Fr_1%20%3D%20%7BDESIGN_STATE.Fr1%3A.2f%7D%24'%2C%20(DESIGN_STATE.d_b%2C%20DESIGN_STATE.Fr1)%2C%20textcoords%3D'offset%20points'%2C%20xytext%3D(-104%2C%2034)%2C%20color%3DWARN%2C%20fontsize%3D8.5%2C%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-'%2C%20color%3DWARN%2C%20lw%3D0.8))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axes%5B1%5D.annotate(f'%24r_%5C%5Cmathrm%7B%7Bt%7D%7D%20%3D%20%7BDESIGN_STATE.Rt%3A.3f%7D%24'%2C%20(DESIGN_STATE.d_b%2C%20DESIGN_STATE.Rt)%2C%20textcoords%3D'offset%20points'%2C%20xytext%3D(40%2C%20-58)%2C%20color%3DWARN%2C%20fontsize%3D8.5%2C%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-'%2C%20color%3DWARN%2C%20lw%3D0.8))%20%20%23%20the%20design%20variable%20is%20the%20one%20symbol%20set%20apart%20from%20the%20notation%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.tight_layout()%20%20%23%20bold%20and%20in%20the%20warn%20colour%2C%20on%20the%20slides%20and%20here%20alike%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print('Complete%20Tasks%201%20to%203%2C%20then%20re-run%20this%20cell.')%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Longitudinal%20section%20of%20the%20stilling%20basin%0A%0A%20%20%20%20The%20accepted%20design%20is%20drawn%20in%20the%20following%20code%20block%20to%20scale%2C%20with%20the%20downstream%20riverbed%20as%20the%20datum.%20Two%20depths%20are%20marked%20above%20the%20stilling%20basin%20floor%2C%20and%20the%20difference%20between%20them%20is%20the%20subject%20of%20the%20retention%20check%3A%0A%0A%20%20%20%20*%20**Available**%20is%20the%20depth%20supplied%20by%20the%20tailwater%20and%20the%20basin%20depth%2C%20%24h_%7Btw%7D%20%2B%20%5Cmathbf%7Bd_b%7D%24.%0A%20%20%20%20*%20**Required**%20is%20the%20depth%20required%20for%20the%20jump%2C%20that%20is%20the%20conjugate%20depth%20%24h_2%24.%0A%0A%20%20%20%20Their%20ratio%20is%20%24r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%24%2C%20and%20the%20surplus%20is%20the%20margin%20by%20which%20the%20jump%20is%20retained%20within%20the%20basin%20rather%20than%20on%20the%20bed%20downstream.%20Only%20the%20end%20depths%20of%20the%20jump%20follow%20from%20the%201d%20relations%2C%20so%20the%20surface%20drawn%20between%20cross%20sections%201%20and%202%20is%20indicative.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20BLUE%2C%0A%20%20%20%20CYAN%2C%0A%20%20%20%20DESIGN%2C%0A%20%20%20%20DESIGN_STATE%2C%0A%20%20%20%20GREY%2C%0A%20%20%20%20NAVY%2C%0A%20%20%20%20TASKS_DONE%2C%0A%20%20%20%20WARN%2C%0A%20%20%20%20l_b%2C%0A%20%20%20%20math%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pe%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20if%20TASKS_DONE%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%20%3D%20DESIGN_STATE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20floor%20%3D%20-_s.d_b%20%20%23%20basin%20floor%2C%20below%20the%20downstream%20riverbed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h_avail%20%3D%20DESIGN.h_tw%20%2B%20_s.d_b%20%20%23%20depth%20available%20over%20the%20floor%0A%20%20%20%20%20%20%20%20h_need%20%3D%20floor%20%2B%20_s.h2%20%20%23%20level%20the%20jump%20demands%2C%20above%20the%20datum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20top%20%3D%20DESIGN.H0%20%20%23%20energy%20head%20above%20the%20un-sunk%20invert%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u%20%3D%20l_b%20%2F%2024.8%20%20%23%20one%20drawing%20unit%2C%20so%20the%20layout%20scales%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_face%2C%20x_toe%2C%20x_end%20%3D%20(-7.0%20*%20u%2C%200.0%2C%20l_b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_tail%20%3D%20x_end%20%2B%200.6%20*%20l_b%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_j0%2C%20x_j1%20%3D%20(0.26%20*%20l_b%2C%200.62%20*%20l_b)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20glow%20%3D%20%5Bpe.withStroke(linewidth%3D2.6%2C%20foreground%3D'white')%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9.4%2C%203.4))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5Bx_face%20-%202.0%20*%20u%2C%20x_face%2C%20x_face%20%2B%203.2%20*%20u%2C%20x_toe%2C%20x_end%2C%20x_end%2C%20x_tail%5D%2C%20%5Btop%2C%20top%2C%20top%2C%20floor%2C%20floor%2C%200.0%2C%200.0%5D%2C%20color%3DNAVY%2C%20lw%3D2.4%2C%20solid_joinstyle%3D'round')%20%20%23%20every%20label%20gets%20a%20white%20glow%2C%20so%20that%20one%20crossing%20a%20line%20stays%20readable%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xs%20%3D%20np.linspace(x_toe%2C%20x_tail%2C%20500)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bed%20%3D%20np.where(xs%20%3C%3D%20x_end%2C%20floor%2C%200.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ramp%20%3D%20np.clip((xs%20-%20x_j0)%20%2F%20(x_j1%20-%20x_j0)%2C%200.0%2C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface%20%3D%20floor%20%2B%20_s.h1%20%2B%20(DESIGN.h_tw%20-%20floor%20-%20_s.h1)%20*%20(0.5%20-%200.5%20*%20np.cos(math.pi%20*%20ramp))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface%20%3D%20surface%20%2B%200.04%20*%20(DESIGN.h_tw%20-%20floor%20-%20_s.h1)%20*%20np.exp(-((xs%20-%20x_j1)%20%2F%20(0.09%20*%20l_b))%20**%202)%20%20%23%20---%20structure%20and%20bed%20---------------------------------------------------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.fill_between(xs%2C%20surface%2C%20bed%2C%20color%3DCYAN%2C%20alpha%3D0.3%2C%20lw%3D0)%20%20%23%20the%20chute%20face%20descends%20from%20the%20spillway%20crest%20to%20the%20basin%20floor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(xs%2C%20surface%2C%20color%3DBLUE%2C%20lw%3D2.0)%20%20%23%20then%20the%20floor%20runs%20to%20the%20end%20sill%20and%20the%20river%20bed%20continues%20downstream%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20dim(x%2C%20y0%2C%20y1%2C%20label%2C%20colour%3DNAVY%2C%20dx%3D0.7%20*%20u%2C%20ha%3D'left'%2C%20frac%3D0.5%2C%20outside%3DFalse%2C%20ext%3D0.4%20*%20u)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20dimension%20between%20two%20levels%2C%20with%20a%20tick%20at%20each%20end%20so%20that%20what%20it%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20measures%20from%20and%20to%20is%20unambiguous.%20outside%3DTrue%20puts%20the%20two%20heads%20%20%23%20---%20water%20body%20----------------------------------------------------------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beyond%20the%20span%2C%20pointing%20in%2C%20for%20a%20span%20too%20short%20to%20hold%20them.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20y%20in%20(y0%2C%20y1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5Bx%20-%200.5%20*%20u%2C%20x%20%2B%200.5%20*%20u%5D%2C%20%5By%2C%20y%5D%2C%20color%3Dcolour%2C%20lw%3D0.8)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20outside%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20(x%2C%20y0)%2C%20(x%2C%20y0%20-%20ext)%2C%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3Dcolour%2C%20lw%3D1.1))%20%20%23%20a%20small%20crest%20at%20the%20end%20of%20the%20jump%2C%20so%20that%20the%20roller%20reads%20as%20a%20roller%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20(x%2C%20y1)%2C%20(x%2C%20y1%20%2B%20ext)%2C%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3Dcolour%2C%20lw%3D1.1))%20%20%23%20rather%20than%20as%20a%20smooth%20asymptote%3B%20it%20is%20schematic%2C%20like%20the%20ramp%20itself%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20(x%2C%20y0)%2C%20(x%2C%20y1)%2C%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3Dcolour%2C%20lw%3D1.1))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20label%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(x%20%2B%20dx%2C%20y0%20%2B%20frac%20*%20(y1%20-%20y0)%2C%20label%2C%20color%3Dcolour%2C%20fontsize%3D8.2%2C%20va%3D'center'%2C%20ha%3Dha%2C%20path_effects%3Dglow)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.plot(%5B0.48%20*%20x_end%2C%20x_end%20%2B%206.0%20*%20u%5D%2C%20%5Bh_need%5D%20*%202%2C%20color%3DWARN%2C%20lw%3D1.0%2C%20ls%3D'--')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dim(0.5%20*%20x_end%2C%20floor%2C%20h_need%2C%20f'required%5Cn%24h_2%20%5C%5Capprox%20%7B_s.h2%3A.1f%7D%24%20m'%2C%20colour%3DWARN%2C%20dx%3D-0.7%20*%20u%2C%20ha%3D'right'%2C%20frac%3D0.86)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dim(0.86%20*%20x_end%2C%20floor%2C%20DESIGN.h_tw%2C%20f'available%5Cn%24h_%7B%7Btw%7D%7D%2B%5C%5Cmathbf%7B%7Bd_b%7D%7D%20%5C%5Capprox%20%7Bh_avail%3A.1f%7D%24%20m'%2C%20dx%3D-0.7%20*%20u%2C%20ha%3D'right')%20%20%23%20---%20dimensions%20----------------------------------------------------------%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_gap%20%3D%20x_end%20%2B%204.6%20*%20u%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dim(x_gap%2C%20h_need%2C%20DESIGN.h_tw%2C%20''%2C%20colour%3DWARN%2C%20outside%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(f'surplus%20%24%5C%5Capprox%20%7Bh_avail%20-%20_s.h2%3A.1f%7D%24%20m%5Cn(water%20above%20the%20level%20%24h_2%24%20demands)'%2C%20(x_gap%2C%20DESIGN.h_tw%20%2B%200.6%20*%20u)%2C%20textcoords%3D'offset%20points'%2C%20xytext%3D(0%2C%2032)%2C%20color%3DWARN%2C%20fontsize%3D8.2%2C%20ha%3D'center'%2C%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3DWARN%2C%20lw%3D0.9)%2C%20path_effects%3Dglow)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(f'%24h_1%20%5C%5Capprox%20%7B_s.h1%3A.1f%7D%24%20m'%2C%20(x_toe%20%2B%203.2%20*%20u%2C%20floor%20%2B%200.5%20*%20_s.h1)%2C%20textcoords%3D'offset%20points'%2C%20xytext%3D(2%2C%2054)%2C%20color%3DNAVY%2C%20fontsize%3D8.2%2C%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3DNAVY%2C%20lw%3D0.9)%2C%20path_effects%3Dglow)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dim(x_end%20%2B%202.4%20*%20u%2C%20floor%2C%200.0%2C%20f'%24%5C%5Cmathbf%7B%7Bd_b%7D%7D%20%5C%5Capprox%20%7B_s.d_b%3A.1f%7D%24%20m'%2C%20colour%3DWARN%2C%20outside%3DTrue%2C%20ext%3D0.8%20*%20u%2C%20dx%3D1.2%20*%20u)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dim(x_end%20%2B%209.0%20*%20u%2C%200.0%2C%20DESIGN.h_tw%2C%20f'%24h_%7B%7Btw%7D%7D%20%5C%5Capprox%20%7BDESIGN.h_tw%3A.1f%7D%24%20m')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20(x_toe%2C%20floor%20-%200.365%20*%20_s.h2)%2C%20(x_end%2C%20floor%20-%200.365%20*%20_s.h2)%2C%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'%3C-%3E'%2C%20color%3DNAVY%2C%20lw%3D1.1))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(0.5%20*%20x_end%2C%20floor%20-%200.62%20*%20_s.h2%2C%20f'basin%20length%20%24l_b%20%5C%5Capprox%20%7Bl_b%3A.1f%7D%24%20m'%2C%20color%3DNAVY%2C%20fontsize%3D8.2%2C%20ha%3D'center'%2C%20path_effects%3Dglow)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axhline(0.0%2C%20color%3DGREY%2C%20lw%3D0.7%2C%20ls%3D'%3A')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_jump%20%3D%20x_j1%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_jump%20%3D%20float(np.interp(x_jump%2C%20xs%2C%20surface))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(x_jump%2C%20y_jump%20%2B%201.75%20*%20u%2C%20'hydraulic%20jump'%2C%20color%3DNAVY%2C%20fontsize%3D9%2C%20ha%3D'center'%2C%20style%3D'italic'%2C%20path_effects%3Dglow)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(''%2C%20(x_jump%2C%20y_jump%20%2B%200.25%20*%20u)%2C%20(x_jump%2C%20y_jump%20%2B%201.45%20*%20u)%2C%20arrowprops%3Ddict(arrowstyle%3D'-%3E'%2C%20color%3DNAVY%2C%20lw%3D0.9))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(x_face%20-%201.6%20*%20u%2C%20top%20%2B%200.12%20*%20_s.h2%2C%20f'from%20the%20spillway%20chute%2C%20%20%24H_0%20%5C%5Capprox%20%7Btop%3A.1f%7D%24%20m'%2C%20color%3DNAVY%2C%20fontsize%3D8.2%2C%20path_effects%3Dglow)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlim(x_face%20-%202.5%20*%20u%2C%20x_tail%20%2B%201.0%20*%20u)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylim(floor%20-%200.75%20*%20_s.h2%2C%20top%20%2B%200.55%20*%20_s.h2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_aspect('equal')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_xlabel('distance%20along%20the%20basin%20%5Bm%5D')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.set_ylabel('level%20above%20the%5Cndownstream%20bed%20%5Bm%5D')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.spines%5B'left'%5D.set_visible(True)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.show()%20%20%23%20the%20level%20the%20jump%20demands%2C%20carried%20downstream%20so%20that%20it%20can%20be%20compared%0A%20%20%20%20else%3A%20%20%23%20with%20the%20water%20surface%3B%20it%20starts%20right%20of%20the%20jump%20arrow%2C%20never%20under%20it%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print('Complete%20Tasks%201%20to%203%2C%20then%20re-run%20this%20cell.')%20%20%23%20the%20surplus%20is%201.1%20m%20on%20a%2022%20m%20bar%2C%20so%20it%20is%20named%20rather%20than%20left%20to%20the%20eye%20%20%23%20---%20labels%20--------------------------------------------------------------%20%20%23%20the%20arrow%20points%20at%20the%20crest%20of%20the%20roller%2C%20and%20stays%20above%20the%20dashed%20%20%23%20level%20line%20so%20that%20it%20can%20cross%20neither%20that%20line%20nor%20the%20%22required%22%20label%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Design%20summary%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20DESIGN%2C%0A%20%20%20%20DESIGN_STATE%2C%0A%20%20%20%20FR_WINDOW%2C%0A%20%20%20%20H1%2C%0A%20%20%20%20RT_WINDOW%2C%0A%20%20%20%20TASKS_DONE%2C%0A%20%20%20%20delta_H%2C%0A%20%20%20%20l_b%2C%0A%20%20%20%20l_s%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20if%20TASKS_DONE%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_s%20%3D%20DESIGN_STATE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rows%20%3D%20%5B('given'%2C%20'spillway%20design%20flow'%2C%20'Q'%2C%20DESIGN.Q%2C%20'm3%2Fs')%2C%20('given'%2C%20'unit%20discharge'%2C%20'q'%2C%20DESIGN.q%2C%20'm2%2Fs')%2C%20('given'%2C%20'energy%20head%20above%20the%20invert'%2C%20'H0'%2C%20DESIGN.H0%2C%20'm')%2C%20('given'%2C%20'tailwater%20depth'%2C%20'h_tw'%2C%20DESIGN.h_tw%2C%20'm')%2C%20('design'%2C%20'basin%20depth'%2C%20'd_b'%2C%20_s.d_b%2C%20'm')%2C%20('design'%2C%20'energy%20head%20above%20the%20floor'%2C%20'H'%2C%20_s.H%2C%20'm')%2C%20('design'%2C%20'entry%20depth'%2C%20'h1'%2C%20_s.h1%2C%20'm')%2C%20('design'%2C%20'entry%20velocity'%2C%20'v1'%2C%20_s.v1%2C%20'm%2Fs')%2C%20('design'%2C%20'entry%20Froude%20number'%2C%20'Fr1'%2C%20_s.Fr1%2C%20'-')%2C%20('design'%2C%20'conjugate%20depth'%2C%20'h2'%2C%20_s.h2%2C%20'm')%2C%20('design'%2C%20'retention%20ratio'%2C%20'Rt'%2C%20_s.Rt%2C%20'-')%2C%20('result'%2C%20'head%20loss'%2C%20'dH'%2C%20delta_H%2C%20'm')%2C%20('result'%2C%20'relative%20head%20loss'%2C%20'dH%2FH1'%2C%20100%20*%20delta_H%20%2F%20H1%2C%20'%25')%2C%20('result'%2C%20'basin%20length'%2C%20'l_b'%2C%20l_b%2C%20'm')%2C%20('result'%2C%20'scour%20protection%20length'%2C%20'l_s'%2C%20l_s%2C%20'm')%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7B''%3A8%7D%7B'quantity'%3A%3C34%7D%7B'symbol'%3A%3C14%7D%7B'value'%3A%3E10%7D%20%20unit%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20group%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20kind%2C%20name%2C%20symbol%2C%20value%2C%20unit%20in%20rows%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20kind%20!%3D%20group%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print('-'%20*%2070)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20group%20%3D%20kind%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20print(f'%7Bkind%3A%3C8%7D%7Bname%3A%3C34%7D%7Bsymbol%3A%3C14%7D%7Bvalue%3A%3E10.3f%7D%20%20%7Bunit%7D')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print('%3D'%20*%2070)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22windows%3A%20Fr1%20in%20%5B%7BFR_WINDOW%5B0%5D%7D%2C%20%7BFR_WINDOW%5B1%5D%7D)%20-%3E%20%7B('met'%20if%20_s.fr_ok%20else%20'NOT%20met')%7D%3B%20%20Rt%20in%20%5B%7BRT_WINDOW%5B0%5D%7D%2C%20%7BRT_WINDOW%5B1%5D%7D%5D%20-%3E%20%7B('met'%20if%20_s.rt_ok%20else%20'NOT%20met')%7D%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print('Complete%20Tasks%201%20to%203%2C%20then%20re-run%20this%20cell.')%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20---%0A%0A%20%20%20%20%23%20Follow-up%20questions%0A%0A%20%20%20%20Each%20of%20the%20following%20requires%20a%20single%20change%20to%20one%20input%20of%20the%20code%20written%20above%2C%20to%20explore%20how%20uncertainties%20and%20changes%20in%20the%20boundary%20conditions%20act%20on%20the%20hydraulic%20jump%2C%20and%20therefore%20on%20the%20stilling%20basin%20design.%0A%0A%20%20%20%201.%20**What%20happens%20if%20the%20tailwater%20depth%20is%20lower%3F**%20Recompute%20with%20the%20tailwater%20depth%20reduced%20by%202%20m%20and%20everything%20else%20unchanged%2C%20that%20is%2C%20hand%20%60basin_state%60%20a%20%60DesignData%60%20whose%20%60h_tw%60%20is%202%20m%20smaller.%20Determine%20the%20effect%20on%20%24r_%7B%5Cmathrm%7Bt%7D%7D%24%20and%20its%20consequence%20for%20the%20downstream%20riverbed%2C%20and%20identify%20how%20the%20jump%20position%20changes.%0A%20%20%20%202.%20**How%20does%20the%20jump%20behave%20under%20different%20discharge%20scenarios%3F**%20The%20basin%20is%20designed%20for%20a%20500-year%20flood%20but%20operates%20mostly%20at%20much%20lower%20discharges.%20So%20re-evaluate%20%60basin_state%60%20with%20a%20%60DesignData%60%20whose%20%60q%60%20is%20halved%2C%20and%20determine%20whether%20the%20jump%20remains%20steady%20and%20remains%20retained.%0A%0A%20%20%20%20%23%20Limits%20of%20the%20simplification%0A%0A%20%20%20%20This%20calculation%20template%20uses%20simplified%201d%20equations%2C%20and%20its%20results%20are%20therefore%20subject%20to%20considerable%20uncertainty%2C%20related%20to%20(but%20not%20limited%20to)%3A%0A%0A%20%20%20%20*%20hydrology%2C%20that%20is%20the%20derivation%20of%20the%20design%20flood%3B%0A%20%20%20%20*%20the%20tailwater%20rating%20curve%2C%20instead%20of%20the%20rectangular%20Manning%20idealisation%3B%0A%20%20%20%20*%20load%20and%20failure%20scenarios%2C%20including%20floods%20exceeding%20the%20spillway%20design%20discharge%2C%20partial-gate%20operation%2C%20and%20the%20sluice%20gates%20beside%20the%20spillway%3B%0A%20%20%20%20*%20cavitation%2C%20air%20entrainment%2C%20uplift%2C%20fluctuating%20pressures%20and%20fatigue%20of%20the%20structure%3B%0A%20%20%20%20*%20scour%20and%20riverbed-stability%20assessment%20downstream%20of%20the%20protected%20length%3B%0A%20%20%20%20*%20geotechnical%20analysis%20and%20structural%20design%3B%0A%20%20%20%20*%20fish%20passage%20and%20sediment%20management.%0A%0A%20%20%20%20%23%20Sources%0A%0A%20%20%20%20*%20Chanson%2C%20*Hydraulics%20of%20Open%20Channel%20Flow*%2C%202nd%20ed.%2C%20Elsevier%20Butterworth-Heinemann%2C%202004.%0A%20%20%20%20*%20Peterka%2C%20*Hydraulic%20Design%20of%20Stilling%20Basins%20and%20Energy%20Dissipators*%2C%20USBR%20Engineering%20Monograph%2025%2C%20revised%201978.%20%3Chttps%3A%2F%2Fntrl.ntis.gov%2FNTRL%2Fdashboard%2FsearchResults%2FtitleDetail%2FPB95139457.xhtml%3E%0A%20%20%20%20*%20Bollrich%2C%20*Technische%20Hydromechanik*%2C%20Dresden%2C%20Germany%2C%202000.%0A%20%20%20%20*%20NZ%20Ministry%20of%20Works%20and%20Development%2C%20*Clyde%20Dam%3A%20Clutha%20Power*%2C%201987%2C%20%3Chttps%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fclyde-dam-clutha-power%3E.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A